三角函数内容规律 E7\Hz^zl
W1`|h/5
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 5K ?In;k
fw2P6W>
1、三角函数本质: (^hh
vj
nVdz9#>
三角函数的本质来源于定义 ZX4O]w
!QwqP8
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 KF,+fU]
R3J:5 F
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ~-e$rcJ0_K
c J)}NRbC
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: ; `j0=V?L
c'-#Fg
推导: /{>H;k
x-7L
M
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 *,R
v6=
%`wST<
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) . WdlZ
JE KDXF^|h
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &+`$W".f
2}CZU(aGg%
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Eh)g`:J0y
`>Sx^%M
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) *ayhf_`A
Hy{|?X
en
[1] _
d%QA!xD
*|fA|ft
两角和公式 +LPvku
o6Pl\iQ4
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9oo[+
3{5'qsP!
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 2/qo;5
='y
hT@Q
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ZhWSd2S/
_ny54s]
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Zf> eNa
-,KC{#/
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) :e0Z+}8B]
cYZ?H3\7
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) :@(uh18
(ypW3
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) y&PqT;Rq
HBA0bet
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ?B,QVj+y
UY 7g4 L/a
倍角公式 Z\ 'b
*QhDs3aW"V
Sin2A=2SinA•CosA M6_rnhQ61
x*ID_e
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 eZ;*ebHA
=CFF~
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) kMBC jn
'c v
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) eb6zq
yN GDbN
三倍角公式 EV8|I.
=1Whmv\tT
Y5Y7
"`c
N(B>iHB]
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =9F2JYy
} idH
Wi
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3A:/wb"
q6HH{
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) rQgQ$P
mLp2f.
三倍角公式推导 %,X;!,'h
),zRp`9
sin3a K"zK}f<
c%<8Q
=sin(2a+a) TGCR!i`Z
qF Ct](
=sin2acosa+cos2asina ^~[ex6
{BKa1"C
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 1LVa_ =I5
0Dg }Ht4v
=3sina-4sin³a |g%x`_5&
ieTgN ?
=
cos3a :~qgRh!$0P
r^n5\ SD
=cos(2a+a) 2LLFb&2Z_<
Y=S4"FJ
=cos2acosa-sin2asina {_C@au;%-
ax2cX`
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ~OqIu=!
+H7p
rns
=4cos³a-3cosa ZI3, TK.
hGgGU}JpM
sin3a=3sina-4sin³a cYe+i]
#>qpmA
=4sina(3/4-sin²a) zc1f.zGE
D9\1!
=4sina[(√3/2)²-sin²a] M4"Mh4F*[
#1?^*"^c
=4sina(sin²60°-sin²a) i_Azsg;J
f4SIG~
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) P?b>A)
3/8+1oZ4
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^06h4z
>Ol Yz`|I#
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) B0{V5
Hz8tT+8J3l
cos3a=4cos³a-3cosa V1mB 9
%!WW
=4cosa(cos²a-3/4) HU^^B/ 8
\$3,<UM
E
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] n!!{ Z1M
EBPyl,k>
=4cosa(cos²a-cos²30°) =e(k><H
^k*;^ 9^J
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) v:==U:^!n#
ZEN#"8X(/
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} |*A,W
+WCM
c06hk"\1/
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) DGJX1q[F
> 09dj.
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] K_Y"RIt4
\"{T5D
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] G,:h?F[(c
{tY=P",T
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) S*4=20!
uC S3m4As)
上述两式相比可得 S5>d9'|
xbMg
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) x^
]x
^n
j~}\n;3p
半角公式
g]:qZGK
`AkGQq d
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); onC9
Kq'
*AA`c&
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ;_n}R6oo
2"EO%nfvQ
和差化积 .J!+KLd
AtKl1i:?{
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ;r y
SC C%HQ
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] |x%O@*vg>
&m=o,=
n)
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] OBXBiEi
It>6k7
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #`}:'Dz"
aU7p8MN H
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) p0<P!"
vZY{?bE(
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Z
4C<
FZ
sQ]6l6'e4b
积化和差 `
k5HK\
L&~=rN'8
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n\j]J3V&
_ZcE9}I
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] we<y-O|
k# 9(X?)
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] $a>@F1
2?X}0YzdTg
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] n69l-?\:
)v
oXhW
诱导公式 X]BS<} !7
04:]}E
sin(-α) = -sinα bc"a|Nzr7Z
.%YeDLnp\
cos(-α) = cosα iev5LM4
P%A"INH
sin(π/2-α) = cosα 6B&/Z,At
#Po_<g'`
cos(π/2-α) = sinα EV^O
?=
2P*GXw U
sin(π/2+α) = cosα R>?lHaIqk
$afls tes
cos(π/2+α) = -sinα rZ^PyvxblA
@Lke`[
sin(π-α) = sinα $5M%,wNm\
J7cIU$_q<
cos(π-α) = -cosα xGZCPiS85
gq3sY]g
sin(π+α) = -sinα 2d2:\t\j
H]>-CWsP){
cos(π+α) = -cosα >
7{i
5UXLF4
tanA= sinA/cosA ?% 2wG'p
R_#9(|b\
tan(π/2+α)=-cotα F1&sNJx6-
et\Giw;
p
tan(π/2-α)=cotα ZOY_fbze
,H;'c{#
tan(π-α)=-tanα U1<zeQ
s$/t(RgR
tan(π+α)=tanα 2g=a8R:n
&.^lG=d
万能公式 &Z+_)}o
c1CrQgM
LnBc>1'+"0
cRkLN4*bH\
其它公式 %GBanQn2
,1$L3|^m\
(sinα)^2+(cosα)^2=1 ]!MP v
|Wu+I<B"
1+(tanα)^2=(secα)^2 \l%/ @
&<_lV.p
1+(cotα)^2=(cscα)^2 !2P ^.==
["VG1'Ylp
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 mbAZ!/
a;6"B33jR
对于任意非直角三角形,总有 j0_aj+W
M~&hUZ-[l/
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |YHARHU
3p xsYj$
证: dz<u$j|
}Yn[3?7Z
A+B=π-C izuY ?
|M$eFj_1
tan(A+B)=tan(π-C) KJ{a>z5i
S\XR6;
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) G'XcQ
*028GX<t
整理可得 =~K`
%
paFW, W
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K]GS>\q5M
Zd+>p~#
得证 <=@7G4EH6
93yNOf"*}w
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
K 63!OCo
k}{ ^#
其他非重点三角函数 8AZ6_`!
0;nvu: g
csc(a) = 1/sin(a) _.;MTi,
gsOFCb.3
sec(a) = 1/cos(a) #g<4R:
>9e$]yKG
!
p~%`
i4*ud1"z
双曲函数 HlY2?8{u!
"$FhIg
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 :)>J<WS
%IBW
o5%
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 @V*wOo
W"7VtJaS
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) )$"8rsmw3
$FeEFu(W
公式一: PFr7vP:
q@;~DEs:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: KnaoqHr#
y8 KE8FM&
sin(2kπ+α)= sinα FiQ=A
:Ab@>I
cos(2kπ+α)= cosα P<T5/kKr
.rK=RT :
tan(kπ+α)= tanα b}tlh&5e
msYYz7#
cot(kπ+α)= cotα /dOy)\r
)sa:`'
3
公式二: ^M47gp
bC'VUqpAb
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: !\B5
r 'O8 #
sin(π+α)= -sinα ;~%A0]UF
hH 4Lj
cos(π+α)= -cosα /IPS+AM
s7eF("
tan(π+α)= tanα JQ=y}'9!
%o-
ww'
cot(π+α)= cotα /b{;IM.
fCo&E=+c
公式三: Zas=M0:_
G/hQE
)
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: RQ_>+( D
?9sEkm ,(
sin(-α)= -sinα 16&HBq<h?
VV'2^qWz
cos(-α)= cosα ,1WIP
eE3
X8I7Mi<?
tan(-α)= -tanα tUaUS
Q:C^U$7H8H
cot(-α)= -cotα c0uVcbZ6
gpmH*sH
公式四: 2KmN/5#,j
c%L)Bd`?
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: R%JNU}
,$2:
.
sin(π-α)= sinα ab]ms,S
03'+4[]bZ
cos(π-α)= -cosα YelaeaLq
W4v;0z\
tan(π-α)= -tanα otJ"7t-B
n6 uS^~4
cot(π-α)= -cotα IbSHY+,1eN
fz2=B&f
公式五: ]A7FQtjO\
6=dXhqFIv
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: C
w%7%
p;5UpU_4
sin(2π-α)= -sinα 8)uHDS;?$
Rd9Hk
cos(2π-α)= cosα JDR,N"zO
jjL7>}B{
tan(2π-α)= -tanα fKS@hwzX%
[(bbB^H@z
cot(2π-α)= -cotα 9:j</)
<P@t53n|
公式六: Y$]mTKAa
_ao@.@T}Z
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: U:9o
r-m
i*l.8U*S
sin(π/2+α)= cosα Z&/5{cK
|/ 6_Y{h
cos(π/2+α)= -sinα mJq|i37pQ
-bIq\UTi|~
tan(π/2+α)= -cotα 1c !9pQH4
yl:jQ
cot(π/2+α)= -tanα fY(F_j C
sQ\<8/-0
sin(π/2-α)= cosα B?!SL"bh
OZf9yDL#
cos(π/2-α)= sinα o]Q DAJ
_tyBm<b
tan(π/2-α)= cotα w0F76:zEs
;"Uu8[2#h
cot(π/2-α)= tanα hLIw`X3VG
8(P`]'Cu]
sin(3π/2+α)= -cosα 9(IA[l>
JOltjcEX
cos(3π/2+α)= sinα $^y7&7Mz
QG?!soQl
tan(3π/2+α)= -cotα q^3UV1j
33Kt'
cot(3π/2+α)= -tanα GqWoi@2F
WKkA3LbyQ
sin(3π/2-α)= -cosα 8?L;Fp2
`1?uD><
cos(3π/2-α)= -sinα .g51Gb4
b4'lcd
tan(3π/2-α)= cotα #LDYJ1
e.$r6jF-`
cot(3π/2-α)= tanα dz+4la
Ld(Uaep
(以上k∈Z) R.=]&n%
a
\+oOQ1f0
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 S&5 Z
M>7yIi'%0
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $Mqp=ON
-+{_6T4w
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } G=fZ (5
q1m_LcpL
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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