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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 E7\Hz^zl  
W1`|h/5  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 5K ?In;k  
fw2P6W>  
  1、三角函数本质: (^hh  vj  
nVdz9#>  
  三角函数的本质来源于定义 ZX4O]w  
!QwqP8  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 KF,+fU]  
R3J:5 F  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 ~-e$rcJ0_K  
cJ)}NRbC  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: ;`j0=V?L  
c'-#Fg  
  推导: /{>H;k  
x-7L M  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 *,R v6=  
 %`wST<  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) . WdlZ  
JEKDXF^|h  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &+`$W".f  
2}CZU(aGg%  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Eh)g`:J0y  
`>Sx^%M  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) *ayhf_`A  
Hy{|?X en  
  [1] _ d%QA!xD  
*|fA| ft  
  两角和公式 +LPvku  
o6Pl\iQ4  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9o o[+  
3{5'qsP!  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  2/qo;5  
='y hT@Q  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ZhWSd2S/  
_ny54s]  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Zf> eNa  
-,KC{#/  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) :e0Z+}8B]  
cYZ?H3\7  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) :@(uh18  
(ypW3  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  y&PqT;Rq  
HBA0bet  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ?B,QVj+y  
UY 7g4L/a  
倍角公式 Z\'b  
*QhDs3aW"V  
  Sin2A=2SinA•CosA M6_rnhQ61  
x*ID_e  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 eZ;*ebHA  
=CFF~  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) kM BCjn  
 'cv  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) eb6zq  
yNGDbN  
三倍角公式 EV8|I.  
=1Whmv\tT  
   Y5Y7 "`c  
N(B>iHB]  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =9F2JYy  
} idH Wi  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3A:/w b"  
q6HH{  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) rQg Q$P  
mLp2f.  
三倍角公式推导 % ,X;!,'h  
),zRp`9  
  sin3a K"zK}f<  
c%<8Q  
  =sin(2a+a) TGCR!i`Z  
qF Ct] (  
  =sin2acosa+cos2asina ^~[ex6  
{BKa1"C  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 1LVa_ =I5  
0Dg }Ht4v  
  =3sina-4sin³a |g%x`_5&  
ieTgN? =  
  cos3a :~qgRh!$0P  
r^n5\ SD  
  =cos(2a+a) 2LLFb&2Z_<  
Y=S4"FJ  
  =cos2acosa-sin2asina {_C@au;%-  
ax2cX`  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ~OqIu=!  
+H7p rns  
  =4cos³a-3cosa ZI3, TK.  
hGgGU}JpM  
  sin3a=3sina-4sin³a cYe+i]  
#>qpmA  
  =4sina(3/4-sin²a) zc1f.zGE  
D9\1&#!  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] M4"Mh4F*[  
#1?^*"^c  
  =4sina(sin²60°-sin²a) i_Azsg;J  
f4SIG~  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) P?b>A)  
3/8+1oZ4  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ^06h4z  
>Ol Yz`|I#  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) B0{V5  
Hz8tT+8J3l  
  cos3a=4cos³a-3cosa V1mB 9  
%!WW  
  =4cosa(cos²a-3/4) HU^^B/8  
\$3,<UM E  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] n!!{Z 1M  
EBPyl, k>  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) =e(k><H  
^k*; ^ 9^J  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) v:==U:^!n#  
ZEN#"8X(/  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} |*A,W +WCM  
c06hk"\1/  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) DGJX1q[F  
> 09dj.  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] K_Y"RIt4  
\"{T5D  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] G,:h?F[(c  
{tY=P",T  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) S*4 =20!  
uCS3m4As)  
  上述两式相比可得 S5>d9'|  
xbMg  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) x^ ]x ^n  
j~}\n;3p  
半角公式  g]:qZGK  
`AkGQq d  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); onC9 Kq'  
*AA`c&  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ;_n}R 6oo  
2"EO%nfvQ  
和差化积 .J!+KLd  
AtKl1i:?{  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ; r y  
SC C%HQ  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] |x%O@*vg>  
&m=o,= n)  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] OB XBiEi  
It>6k7  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #`}:'Dz"  
aU7p8MN H  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) p0<P!"  
vZY{?bE(  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Z 4C< FZ  
sQ]6l6'e4b  
积化和差 ` k5HK\  
L&~=rN'8  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n\j]J3V&  
_ZcE9}I  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] we<y-O|  
k#9(X?)  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] $a>@F1  
2?X}0YzdTg  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] n69l-?\:  
)v oXhW  
诱导公式 X]BS<} !7  
04:]}E   
  sin(-α) = -sinα bc"a|Nzr7Z  
.%YeDLn p\  
  cos(-α) = cosα iev5LM4  
P% A"INH  
  sin(π/2-α) = cosα 6B&/Z,At  
#Po_<g'`  
  cos(π/2-α) = sinα EV^O ?=  
2P*GXwU  
  sin(π/2+α) = cosα R>?lHaIqk  
$afls tes  
  cos(π/2+α) = -sinα rZ^PyvxblA  
 @L ke`[  
  sin(π-α) = sinα $5M%,wNm\  
J7cIU$_q<  
  cos(π-α) = -cosα xGZCP iS85  
gq3sY]g  
  sin(π+α) = -sinα 2d2:\t\j  
H]>-CWsP){  
  cos(π+α) = -cosα > 7{i  
5UXLF4  
  tanA= sinA/cosA ?% 2wG'p  
R_#9(|b\  
  tan(π/2+α)=-cotα F1&sNJx6-  
et\Giw; p  
  tan(π/2-α)=cotα ZOY_fbze  
,H ;'c{#  
  tan(π-α)=-tanα U1<zeQ  
s$/t(RgR  
  tan(π+α)=tanα 2 g=a8R:n  
&.^lG=d  
万能公式 &Z+_)}o  
c1CrQgM  
   LnBc>1'+"0  
cRkLN4*bH\  
其它公式 %GBanQn2  
,1$L3|^m\  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 ]!MP v  
|Wu+I<B"  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 \l%/@  
&<_lV.p  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 !2P ^.==  
["VG1'Ylp  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 mbAZ!/  
a;6"B33jR  
  对于任意非直角三角形,总有 j0_aj+W  
M~&hUZ-[l/  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |YHARHU   
3p xsYj$  
  证: dz<u$j|  
}Yn[3?7Z  
  A+B=π-C izuY ?  
|M$eFj_1  
  tan(A+B)=tan(π-C) KJ{a>z5i  
S\XR6;  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) G'XcQ  
*028GX<t  
  整理可得 =~K` %  
paFW , W  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC K]GS>\q5 M  
Zd+>p~#  
  得证 <=@7G4EH6  
93yNOf"*}w  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立  K63!OCo  
k}{^#  
其他非重点三角函数 8AZ6_`!  
0;nvu: g  
  csc(a) = 1/sin(a) _.;MT i,  
gsOFCb.3  
  sec(a) = 1/cos(a) #g<4R:  
>9e$]yKG  
   ! p~%`  
i4*ud1"z  
双曲函数 HlY2?8{u!  
"$FhIg  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 :)>J<WS  
%IBW o5%  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 @V*wOo  
W"7VtJaS  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) )$"8rsmw3  
$FeEFu(W  
  公式一: PFr7vP:  
q@;~DEs:  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: KnaoqHr#  
y8KE8FM&  
  sin(2kπ+α)= sinα FiQ=A  
:Ab@>I  
  cos(2kπ+α)= cosα P<T5/kKr  
.rK=RT :  
  tan(kπ+α)= tanα b}t lh&5e  
msYYz7#  
  cot(kπ+α)= cotα /dOy)\r  
)sa:`' 3  
  公式二: ^M47g p  
bC'VUqpAb  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: !\B5  
r'O8#  
  sin(π+α)= -sinα ;~%A0]UF  
hH4Lj  
  cos(π+α)= -cosα /IPS+AM  
s7eF("  
  tan(π+α)= tanα JQ=y}'9!  
%o- ww'  
  cot(π+α)= cotα /b{;IM.  
fCo&E=+c  
  公式三: Zas=M0: _  
G/hQE )  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: RQ_>+( D  
?9sEkm,(  
  sin(-α)= -sinα 16&HBq<h?  
VV'2^qWz  
  cos(-α)= cosα ,1WIP eE3  
X8I7Mi<?  
  tan(-α)= -tanα tUaUS  
Q:C^U$7H8H  
  cot(-α)= -cotα c0uVcbZ6  
gpmH *sH  
  公式四: 2KmN/5#,j  
c%L)Bd` ?  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: R%JNU}  
,$2: .  
  sin(π-α)= sinα ab]ms,S  
03'+4[]bZ  
  cos(π-α)= -cosα YelaeaLq  
W4v;0z\  
  tan(π-α)= -tanα otJ"7t-B  
n6 uS^~4  
  cot(π-α)= -cotα IbSHY+,1eN  
fz2=B&f  
  公式五: ]A7FQtjO\  
6=dXhqFIv  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: C w% 7%  
p;5UpU_4  
  sin(2π-α)= -sinα 8)uHDS;?$  
Rd9Hk  
  cos(2π-α)= cosα JDR,N"zO  
jjL7>}B{  
  tan(2π-α)= -tanα fKS@hwzX%  
[(bbB^H@z  
  cot(2π-α)= -cotα 9:j</)  
<P@t53n|  
  公式六: Y$]m TK Aa  
_ao@.@T}Z  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: U:9o r-m  
i*l.8U*S  
  sin(π/2+α)= cosα Z &/5{cK  
|/ 6_Y{h  
  cos(π/2+α)= -sinα mJq|i37pQ  
-bIq\UTi|~  
  tan(π/2+α)= -cotα 1c !9pQH4  
yl:jQ  
  cot(π/2+α)= -tanα fY(F_j C  
sQ\<8/-0  
  sin(π/2-α)= cosα B?!SL"bh  
OZf9yDL#  
  cos(π/2-α)= sinα o]Q DAJ  
_tyBm <b  
  tan(π/2-α)= cotα w0F76:zEs  
;"Uu8[2#h  
  cot(π/2-α)= tanα hLIw`X3VG  
8(P`]'Cu]  
  sin(3π/2+α)= -cosα 9(IA[l>  
JOltjcEX  
  cos(3π/2+α)= sinα $^y7&7Mz  
QG?!soQl  
  tan(3π/2+α)= -cotα q^3UV1j  
33Kt'  
  cot(3π/2+α)= -tanα GqWoi@2F  
WKkA3LbyQ  
  sin(3π/2-α)= -cosα 8?L;Fp2  
`1?uD><  
  cos(3π/2-α)= -sinα . g51Gb4  
b4'l cd  
  tan(3π/2-α)= cotα #LDYJ1  
e.$r6jF-`  
  cot(3π/2-α)= tanα dz+4la  
Ld(Uaep  
  (以上k∈Z) R.=]&n% a  
\+oOQ1f0  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 S& 5 Z  
M>7yIi'%0  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = $Mqp=ON  
-+{ _6T4w  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } G=fZ (5  
q1m_LcpL  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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