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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ^"Ru%v4{  
IX5JW-\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. WWDy<Y7  
)7`Ur 8  
　　1、三角函数本质： &vWS: K\  
gz arc<  
　　三角函数的本质来源于定义 zJmT&ZJD  
-kJhEsTy  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 C=GvAWC  
+qy~V_;h  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 oZkA *w`  
{$0$*U.J#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： *O]i3 t  
0 tBS)r.d  
　　推导： Vo%kIP  
?U5n<}Cn^g  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 \W'eVX4P  
37`(EZ  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Edul}<  
mz6M;mQM  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ^Wjq3iZz  
CZ=VDl h  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 XW8%W?W  
TW'[` J A  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） YR QLWw  
gO DSu(j  
　　[1] ?Z. X/Y&v  
u!EUw%W >  
　　两角和公式 r`oVaA5  
r+&I6A&wo  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Cz[DLTh?  
\O[{u]~  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  [,[cLehJ  
H~1&x2}L<  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 79[ 7hr:nB  
9q6`YZn$W  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB G &S"|+f  
|A8^d%&L:  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) kn>(9  
|(.=#J9  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) G?Y BUgCO  
fy2K<S,  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Jm+&i1  
)T`o{l4m0  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) !,?Y(2F  
][vKdrz  
倍角公式 aLaCZ./  
:gvut5=q  
　　Sin2A=2SinA•CosA |1|-f$d)  
v C-x ; 3m  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 I(= O$1  
=b8a N(  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） -,RR(*I  
RMBKyM*@i  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） JNdgAHn,E  
(Ed2VMw[m  
三倍角公式 2L<'~s+  
J>i)k=*hi  
　　 Vwqk0 Pa  
@\ e4Ex  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) M}zD0"YR  
[ M{/i  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ksjH ?7r  
~a0C  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) O)4~J M  
]UYUN PQl  
三倍角公式推导 BSF4zb"$.6  
?,3fk/l  
　　sin3a jZL3L~  
l.q9T2oQS4  
　　=sin(2a+a) P@nc%7{t  
9%2MXUP  
　　=sin2acosa+cos2asina K;pKIRCy  
" uI-)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ' w=%-:(  
0xp_Yxpa  
　　=3sina-4sin³a 8<t4fnJ  
V$'X(vvlN  
　　cos3a tgXyvw  
ow4>t5IvP  
　　=cos(2a+a) wx__|sd4xi  
& Y"q}q%  
　　=cos2acosa-sin2asina XMVF<py  
UfIl#U 9W  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa qF4&RdO  
:{\&AqZ  
　　=4cos³a-3cosa ym <%5ak  
>=g>{{tn:q  
　　sin3a=3sina-4sin³a -+VnLiPKa  
$Fvo4w$,>  
　　=4sina(3/4-sin²a) /objACT  
|3'wqPd  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 6oiBk MT  
mcjEu_>{  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _2 - U:  
:'HJuh!<|  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) Qzj)yke  
?1O\} ~r  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] uQooo!V  
t3~!t`|  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Md rLkOw  
8q(|L<0  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Brdq#9UTZ_  
Q4}@B&fV  
　　=4cosa(cos²a-3/4) k[*E a  
\Bp#pN  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] JZ)| MO`@  
U u8X{R1  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) _s3Gm<lN  
9Aax ;+#  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) "YUP oGk  
tl\m+  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} });xYTcy  
jT. E ET`Z  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) l*} gz_cO  
[+BQ]  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] zC V6rgM  
}4p\xeRnI  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] i" \|w(`  
@-#01 {I/  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) w_mg/   
z)^#e0d  
　　上述两式相比可得 AjMKS7"Ld  
O69m0gA}b  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)  ZD9'G`{  
4l8GZ!X  
半角公式 cmmVBKO#8  
4H;; Ivp2  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); !pa PZ  
XS*S,d (  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. VLc  
bpU1_Cz*L  
和差化积 0uOnf2{  
[O>hZJfcIf  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 06]S%OipU  
3V&t c^S  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )R!Aw9F  
lYAYBv9  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0B1e]nB_  
ixKBg`aV[-  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] GycU6eh+  
ArAa|y*Ly  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) c74f!Xw^$  
=GaA/&M  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) pYs(MF~*  
Cys M9#5u  
积化和差 cpPH#L  
Q _.go  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] NO2;8b  
s}`30l/Q  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] t5!1UQ=  
SY$L P'  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] tSA}j/R  
<>)3Rb<m1  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 2U "av~I  
E<#l' |Vj  
诱导公式 YZh.:?*  
Fq\0kPS  
　　sin(-α) = -sinα ]cF f!N*[  
{t6R:l:)  
　　cos(-α) = cosα =yzKl}c[  
3mW'Lx7  
　　sin(π/2-α) = cosα T^|V(cWu|  
$?,)m&uu-  
　　cos(π/2-α) = sinα FVHN>N.|  
`,ZuP r9+U  
　　sin(π/2+α) = cosα 2 n#ubw  
8`k< <x m  
　　cos(π/2+α) = -sinα a5[P5yZ_+  
|U#TTy^.d  
　　sin(π-α) = sinα m *BYqY0q  
rwrQ2{iZ  
　　cos(π-α) = -cosα ` AVh3\Gy"  
]yK1E %  
　　sin(π+α) = -sinα q^V_evG[&  
=[Z*FEC@*h  
　　cos(π+α) = -cosα w.Vl7c<'  
`?[D(7r  
　　tanA= sinA/cosA kYw!~8_!Y  
QEXkJFF*  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα MEF yV~C  
]pE+%F  
　　tan（π/2－α）＝cotα E*&Z\{s:m  
Nar@S'  
　　tan（π－α）＝－tanα ?(EB/W#l  
KWGH$*D.d  
　　tan（π＋α）＝tanα W`nH@)>y  
z5t6GsJ=  
万能公式 2"(M+#yD  
=^3g#V #  
　　 7D5)l?  
L =:;G?`^  
其它公式 >U=SE(p  
b{Fh)-F%  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 H0z, 9G  
#d*%]n]R  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 )]%o=Xib  
JD2C}*}n`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 5lb@{d}LI  
J:&WW`(  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 C%ThTNn4  
j1=fr/f $_  
　　对于任意非直角三角形,总有 }.m`LVnVt  
uu=dvNZ  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC I`n^cnj   
!;Bof j2P)  
　　证: 0$wLXh6  
 Pfv\B  
　　A+B=π-C K VFO^|T@  
&H x`GW  
　　tan(A+B)=tan(π-C) jG ]m1e >/  
,OjV+8J7\  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) =)h*':4LE  
T(n{?FXo&  
　　整理可得 `?5{B|cNEU  
ivZLIo|.s  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC v13GqJ8  
7Z}b-   
　　得证 A4KY?Rrz  
tDg:Cl^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 AhMoZL  
CRL#a82r  
其他非重点三角函数 JOE.kZ|{-  
p` ^|Ml  
　　csc(a) = 1/sin(a) ]aZp!oja  
GLpno0"?  
　　sec(a) = 1/cos(a) d+|a-ghH  
"fde.pUx  
　　 hklQ,XJE?T  
D0CZ c >  
双曲函数 .IA^j~=LgE  
Tf CGXTN  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 mOQD-   
yg_Xk}o({  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2  :`Yc  
{>c@-e3  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) b/|x/rtw  
J[`Q``+"  
　　公式一： qUTGjTgvG  
g17\ch  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： fBIl@eQ0>  
^]I)0*H)  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 0irGLlJ#  
Q3&mKXj/  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 4`,y=@dn  
t9!P,ISkf  
　　tan（kπ＋α）= tanα ]MZ:I6  
k 4+-(H0o  
　　cot（kπ＋α）= cotα aqY<o\d4  
10^]nv&E  
　　公式二： <K%10Fsp<  
).<bL`  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 0f%G}xWR  
hy>-j&kk  
　　sin（π＋α）= -sinα >Or Ug08  
*zydn'L  
　　cos（π＋α）= -cosα ( 1\\B :@t  
EX- |:  
　　tan（π＋α）= tanα DviuRj'.0`  
T3ij5*r b*  
　　cot（π＋α）= cotα HH$W<]b3y  
HjYA`jf  
　　公式三： kDrjz  
ZdY|D940  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： (]MvnYy+  
`K$c]F^}s}  
　　sin（-α）= -sinα R~w4h%&J  
r }O  kw  
　　cos（-α）= cosα -^7tS2  
E,(8g *=H  
　　tan（-α）= -tanα b~8adVm  
-6pq4;=  
　　cot（-α）= -cotα :6_mX  
kuf_U@u  
　　公式四： oH (>B<jCY  
n_GoKNy^n  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： {SG_QV"p  
1*,$hTEty  
　　sin（π-α）= sinα X4K=/Fit  
K*!-t7:G  
　　cos（π-α）= -cosα +n)x*Lg0  
c~6s'l=-  
　　tan（π-α）= -tanα ?T8sT5A<+  
tXV%o-ZDu  
　　cot（π-α）= -cotα S<#f+}mP  
([NRR>@?  
　　公式五： e_wo[z18  
3B]V)Pd*A  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 4a!O%:zh'  
w-#B_4d  
　　sin（2π-α）= -sinα K8Tw!RL  
T#. )|C  
　　cos（2π-α）= cosα !(7&!FK  
:P(IFlkW  
　　tan（2π-α）= -tanα Gf*=E*O<K  
j*r9YIF  
　　cot（2π-α）= -cotα b R.7A ;  
g%p4o7je_  
　　公式六： 5mvNo m. F  
%W'vYjw F  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： gknA9,1cd  
8H#Ns/_n  
　　sin（π/2+α）= cosα M4}QLuLg  
8:3#dO  
　　cos（π/2+α）= -sinα Ug:P 368  
UR</{rX y"  
　　tan（π/2+α）= -cotα $)1`  ij@  
5e]V#mWV  
　　cot（π/2+α）= -tanα m:o,Upf^us  
f53eY7V  
　　sin（π/2-α）= cosα YOTHO2k1  
1D BNhb7  
　　cos（π/2-α）= sinα Ku(T`!BK  
<BDUP:)  
　　tan（π/2-α）= cotα )0,>5Dqogz  
X57 !q  
　　cot（π/2-α）= tanα I kz$,vA  
f41*p*X_Bk  
　　sin（3π/2+α）= -cosα a]ph|m=v  
~&#Ayt)(  
　　cos（3π/2+α）= sinα y:$R0,iEw  
<c ~{kVk  
　　tan（3π/2+α）= -cotα  )8Wwq  
Zv$XAoD-WD  
　　cot（3π/2+α）= -tanα t*?~qiO\  
|[jr34  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 4u,Vp2>  
}*:$3u&hu  
　　cos（3π/2-α）= -sinα UWn\O:9$D  
(^H 0/q6+  
　　tan（3π/2-α）= cotα lXP.=|$Zv  
lHOc@{kE  
　　cot（3π/2-α）= tanα Q&2"QINl  
]ZWL7k$ [  
　　(以上k∈Z) r3b#tvu-  
n/P\x<j@Q  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 [t)zz[]  
HRe R-2b  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = CllKmZ3  
Xwd2;A@-Q  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f|t>1|'  
E6H}78yY  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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